Implementação de planilhas de ajuste sazonal e suavização exponencial É fácil executar o ajuste sazonal e ajustar modelos exponenciais de suavização usando o Excel. As imagens e gráficos de tela a seguir são extraídos de uma planilha que foi configurada para ilustrar o ajuste sazonal multiplicativo e a suavização exponencial linear nos seguintes dados de vendas trimestrais do Outboard Marine: Para obter uma cópia do próprio arquivo de planilha, clique aqui. A versão de suavização exponencial linear que será usada aqui para fins de demonstração é a versão de Brown8217s, simplesmente porque ela pode ser implementada com uma única coluna de fórmulas e há apenas uma constante de suavização para otimizar. Normalmente é melhor usar a versão Holt8217s que tem constantes de suavização separadas para nível e tendência. O processo de previsão prossegue da seguinte forma: (i) primeiro os dados são ajustados sazonalmente (ii) então as previsões são geradas para os dados ajustados sazonalmente por meio de suavização exponencial linear e (iii) finalmente as previsões são ajustadas sazonalmente para obter previsões para a série original . O processo de ajuste sazonal é realizado nas colunas D a G. O primeiro passo no ajuste sazonal é calcular uma média móvel centrada (realizada aqui na coluna D). Isto pode ser feito tomando a média de duas médias anuais que são compensadas por um período em relação um ao outro. (Uma combinação de duas médias de compensação ao invés de uma única média é necessária para fins de centralização quando o número de estações é par.) O próximo passo é calcular a relação com a média móvel - i. e. Os dados originais divididos pela média móvel em cada período - o que é realizado aqui na coluna E. (Isso também é chamado de componente quottrend-cyclequot do padrão, na medida em que os efeitos da tendência e do ciclo de negócios podem ser considerados como sendo tudo isso Permanece após a média de dados de um ano inteiro. Naturalmente, as mudanças mês a mês que não são devido à sazonalidade poderia ser determinada por muitos outros fatores, mas a média de 12 meses suaviza sobre eles em grande medida.) O índice sazonal estimado para cada estação é calculado pela primeira média de todas as razões para essa estação particular, que é feita nas células G3-G6 usando uma fórmula AVERAGEIF. As razões médias são então redimensionadas de modo que somam exatamente 100 vezes o número de períodos em uma estação, ou 400, neste caso, o que é feito nas células H3-H6. Abaixo na coluna F, as fórmulas VLOOKUP são usadas para inserir o valor do índice sazonal apropriado em cada linha da tabela de dados, de acordo com o trimestre do ano que ele representa. A média móvel centrada e os dados ajustados sazonalmente acabam parecidos com isto: Note que a média móvel normalmente se parece com uma versão mais lisa da série ajustada sazonalmente, e é mais curta em ambas as extremidades. Uma outra planilha no mesmo arquivo do Excel mostra a aplicação do modelo de suavização exponencial linear aos dados dessazonalizados, começando na coluna G. Um valor para a constante de alisamento (alfa) é inserido acima da coluna de previsão (aqui, na célula H9) e Por conveniência é atribuído o nome do intervalo quotAlpha. quot (O nome é atribuído usando o comando quotInsert / Name / Createquot). O modelo LES é inicializado definindo as duas primeiras previsões iguais ao primeiro valor real da série ajustada sazonalmente. A fórmula usada aqui para a previsão de LES é a forma recursiva de equação única do modelo Brown8217s: Esta fórmula é inserida na célula correspondente ao terceiro período (aqui, célula H15) e copiada para baixo a partir daí. Observe que a previsão do LES para o período atual se refere às duas observações precedentes e aos dois erros de previsão anteriores, bem como ao valor de alfa. Assim, a fórmula de previsão na linha 15 refere-se apenas a dados que estavam disponíveis na linha 14 e anteriores. (É claro que, se desejássemos usar a suavização linear simples em vez de linear, poderíamos substituir a fórmula SES aqui. Também poderíamos usar Holt8217s ao invés do modelo LES de Brown8217s, o que exigiria mais duas colunas de fórmulas para calcular o nível ea tendência Que são usados na previsão.) Os erros são computados na coluna seguinte (aqui, coluna J) subtraindo as previsões dos valores reais. O erro médio quadrático é calculado como a raiz quadrada da variância dos erros mais o quadrado da média. (Isto decorre da identidade matemática: VARIANCE MSE (erros) (AVERAGE (erros)) 2.) No cálculo da média e variância dos erros nesta fórmula, os dois primeiros períodos são excluídos porque o modelo não começa a prever até O terceiro período (linha 15 na planilha). O valor ótimo de alfa pode ser encontrado alterando manualmente alfa até que o RMSE mínimo seja encontrado, ou então você pode usar o quotSolverquot para executar uma minimização exata. O valor de alpha que o Solver encontrado é mostrado aqui (alpha0.471). Geralmente é uma boa idéia traçar os erros do modelo (em unidades transformadas) e também calcular e traçar suas autocorrelações em defasagens de até uma estação. Aqui está um gráfico de séries temporais dos erros (ajustados sazonalmente): As autocorrelações de erro são calculadas usando a função CORREL () para calcular as correlações dos erros com elas mesmas retardadas por um ou mais períodos - os detalhes são mostrados no modelo de planilha . Aqui está um gráfico das autocorrelações dos erros nos primeiros cinco lags: As autocorrelações nos intervalos 1 a 3 são muito próximas de zero, mas a espiga no retardo 4 (cujo valor é 0,35) é ligeiramente problemática - sugere que a Processo de ajuste sazonal não foi completamente bem sucedido. No entanto, é apenas marginalmente significativo. 95 para determinar se as autocorrelações são significativamente diferentes de zero são mais ou menos 2 / SQRT (n-k), onde n é o tamanho da amostra e k é o atraso. Aqui n é 38 e k varia de 1 a 5, então a raiz quadrada de - n-menos-k é de cerca de 6 para todos eles e, portanto, os limites para testar a significância estatística de desvios de zero são aproximadamente mais - Ou-menos 2/6, ou 0,33. Se você variar o valor de alfa à mão neste modelo do Excel, você pode observar o efeito sobre as parcelas de tempo de série e de autocorrelação dos erros, bem como sobre o erro raiz-médio-quadrado, que será ilustrado abaixo. Na parte inferior da planilha, a fórmula de previsão é quotbootstrappedquot para o futuro, simplesmente substituindo as previsões de valores reais no ponto onde os dados reais se esgotou - i. e. Onde o futuro começa. (Em outras palavras, em cada célula onde um valor de dados futuro ocorreria, uma referência de célula é inserida que aponta para a previsão feita para esse período.) Todas as outras fórmulas são simplesmente copiadas para baixo de cima: Observe que os erros para previsões de O futuro são todos computados como sendo zero. Isso não significa que os erros reais serão zero, mas sim apenas reflete o fato de que para fins de previsão estamos assumindo que os dados futuros serão iguais às previsões em média. As previsões de LES resultantes para os dados ajustados sazonalmente são as seguintes: Com este valor específico de alfa, que é ideal para as previsões de um período antecipado, a tendência projetada é ligeiramente alta, refletindo a tendência local observada nos últimos 2 anos ou então. Para outros valores de alfa, uma projeção de tendência muito diferente pode ser obtida. Geralmente é uma boa idéia ver o que acontece com a projeção de tendência de longo prazo quando alfa é variado, porque o valor que é melhor para previsão de curto prazo não será necessariamente o melhor valor para prever o futuro mais distante. Por exemplo, aqui está o resultado que é obtido se o valor de alfa é manualmente definido como 0.25: A tendência de longo prazo projetada é agora negativa em vez de positiva Com um menor valor de alfa, o modelo está colocando mais peso em dados mais antigos em A sua estimativa do nível e da tendência actuais e as suas previsões a longo prazo reflectem a tendência descendente observada nos últimos 5 anos, em vez da tendência ascendente mais recente. Este gráfico também ilustra claramente como o modelo com um valor menor de alfa é mais lento para responder a pontos de quoturno nos dados e, portanto, tende a fazer um erro do mesmo sinal para muitos períodos em uma linha. Seus erros de previsão de 1 passo são maiores em média do que aqueles obtidos antes (RMSE de 34,4 em vez de 27,4) e fortemente positivamente autocorrelacionados. A autocorrelação lag-1 de 0,56 excede largamente o valor de 0,33 calculado acima para um desvio estatisticamente significativo de zero. Como uma alternativa ao avanço do valor de alfa para introduzir mais conservadorismo em previsões de longo prazo, um fator quottrend de amortecimento é às vezes adicionado ao modelo para fazer a tendência projetada aplanar após alguns períodos. A etapa final na construção do modelo de previsão é a de igualar as previsões de LES, multiplicando-as pelos índices sazonais apropriados. Dessa forma, as previsões reseasonalized na coluna I são simplesmente o produto dos índices sazonais na coluna F e as previsões de LES estacionalmente ajustadas na coluna H. É relativamente fácil calcular intervalos de confiança para as previsões de um passo à frente feitas por este modelo: primeiro Calcular o RMSE (erro quadrático médio, que é apenas a raiz quadrada do MSE) e, em seguida, calcular um intervalo de confiança para a previsão ajustada sazonalmente, adicionando e subtraindo duas vezes o RMSE. (Em geral, um intervalo de confiança de 95 para uma previsão de um período antecipado é aproximadamente igual à previsão de ponto mais ou menos duas vezes o desvio padrão estimado dos erros de previsão, supondo que a distribuição do erro é aproximadamente normal eo tamanho da amostra É grande o suficiente, digamos, 20 ou mais. Aqui, o RMSE em vez do desvio padrão da amostra dos erros é a melhor estimativa do desvio padrão de futuros erros de previsão porque leva bias, bem como variações aleatórias em conta.) Os limites de confiança Para a previsão ajustada sazonalmente são então reseasonalized. Juntamente com a previsão, multiplicando-os pelos índices sazonais apropriados. Neste caso o RMSE é igual a 27,4 e a previsão ajustada sazonalmente para o primeiro período futuro (Dec-93) é 273,2. O intervalo de confiança ajustado sazonalmente é de 273,2-227,4 218,4 para 273,2227,4 328,0. Multiplicando esses limites por Decembers índice sazonal de 68,61. Obtemos limites de confiança inferior e superior de 149,8 e 225,0 em torno da previsão de ponto Dec-93 de 187,4. Os limites de confiança para as previsões de mais de um período de tempo em geral aumentarão à medida que o horizonte de previsão aumentar, devido à incerteza quanto ao nível e à tendência, bem como aos fatores sazonais, mas é difícil computá-los em geral por métodos analíticos. (A maneira apropriada de calcular limites de confiança para a previsão de LES é usando a teoria ARIMA, mas a incerteza nos índices sazonais é outra questão.) Se você quer um intervalo de confiança realista para uma previsão mais de um período à frente, tomando todas as fontes de A sua melhor aposta é usar métodos empíricos: por exemplo, para obter um intervalo de confiança para uma previsão de duas etapas à frente, você poderia criar outra coluna na planilha para calcular uma previsão de duas etapas para cada período ( Por bootstrapping a previsão one-step-ahead). Em seguida, calcule o RMSE dos erros de previsão em duas etapas e use isso como base para um intervalo de confiança em duas etapas.5.2 Suavização da suma de séries temporais geralmente é feita para nos ajudar a ver melhor os padrões, as tendências, por exemplo, no tempo série. Geralmente suavizar a irregularidade irregular para ver um sinal mais claro. Para os dados sazonais, podemos suavizar a sazonalidade para que possamos identificar a tendência. Suavização não nos fornece um modelo, mas pode ser um bom primeiro passo para descrever vários componentes da série. O termo filtro às vezes é usado para descrever um procedimento de suavização. Por exemplo, se o valor suavizado de um determinado tempo é calculado como uma combinação linear de observações para tempos circundantes, pode-se dizer que weve aplicado um filtro linear para os dados (não o mesmo que dizer o resultado é uma linha reta, por o caminho). O uso tradicional do termo média móvel é que em cada ponto no tempo determinamos médias (possivelmente ponderadas) dos valores observados que circundam um determinado tempo. Por exemplo, no instante t. Uma média móvel centrada do comprimento 3 com pesos iguais seria a média dos valores às vezes t -1. T. E t1. Para tirar a sazonalidade de uma série, para que possamos ver melhor a tendência, usaríamos uma média móvel com um período sazonal span. Assim, na série suavizada, cada valor alisado foi calculado em média em todas as estações. Isso pode ser feito olhando para uma média móvel unilateral em que você média todos os valores para os anos anteriores de dados ou uma média móvel centrada na qual você usa valores antes e depois da hora atual. Para dados trimestrais, por exemplo, poderíamos definir um valor suavizado para o tempo t como (x t x t-1 x t-2 x t-3) / 4, a média deste tempo e os 3 trimestres anteriores. No código R, este será um filtro unilateral. Uma média móvel centrada cria um pouco de uma dificuldade quando temos um número par de períodos de tempo no período sazonal (como costumamos fazer). Para suavizar a sazonalidade nos dados trimestrais. A fim de identificar a tendência, a convenção usual é usar a média móvel alisada no tempo t é Para suavizar a sazonalidade em dados mensais. Para identificar a tendência, a convenção usual é usar a média móvel alisada no instante t. Isto é, aplicamos o peso 1/24 aos valores às vezes t6 e t6 e peso 1/12 a todos os valores em todos os momentos entre t5 e T5. No comando R filtro, bem especificar um filtro de dois lados quando queremos usar valores que vêm antes e depois do tempo para o qual foram suavização. Observe que na página 71 de nosso livro, os autores aplicam pesos iguais em uma média móvel sazonal centrada. Thats ok também. Por exemplo, um trimestral mais suave pode ser suavizado no momento t é fraccionado x frac x frac x frac x frac x Um mensal mais suave pode aplicar um peso de 1/13 a todos os valores de tempos t-6 a t6. O código que os autores usam na página 72 tira vantagem de um comando rep que repete um valor um certo número de vezes. Eles não usam o parâmetro filter dentro do comando filter. Exemplo 1 Produção Trimestral de Cerveja na Austrália Tanto na Lição 1 quanto na Lição 4, analisamos uma série de produção trimestral de cerveja na Austrália. O código R seguinte cria uma série suavizada que nos permite ver o padrão de tendência e traça esse padrão de tendência no mesmo gráfico da série de tempo. O segundo comando cria e armazena a série suavizada no objeto chamado trendpattern. Note que dentro do comando filter, o parâmetro named filter dá os coeficientes para o nosso alisamento e sides 2 faz com que um centrado suave seja calculado. Beerprod (beerprod. dat) filtro de tendência (beerprod, filtro c (1/8, 1/4, 1/4, 1/4, 1/8), sides2) parcela (beerprod, tipo b, ) Linhas (trendpattern) Heres o resultado: Podemos subtrair o padrão de tendência dos valores de dados para ter uma melhor visão da sazonalidade. O resultado segue: Outra possibilidade para a série de alisamento para ver a tendência é o filtro one-sided do filtro trendpattern2 (beerprod, filtro c (1/4, 1/4, 1/4, 1/4), sides1) Com isso, o valor suavizado é a média do ano passado. Exemplo 2. Desemprego mensal nos Estados Unidos Na lição de casa da semana 4 você analisou uma série mensal de desemprego nos Estados Unidos para 1948-1978. Heres um alisamento feito para olhar para a tendência. Trendunemployfilter (unemploy, filterc (1 / 24,1 / 12,1 / 12,1 / 12,1 / 12,1 / 12,1 / 12,1 / 12,1 / 12,1 / 12,1 / 12, (Trendunemploy, mainTrend no desemprego nos Estados Unidos, 1948-1978, ano xlab) Apenas a tendência alisada é plotada. O segundo comando identifica as características de tempo do calendário da série. Isso faz com que a trama tenha um eixo mais significativo. A trama segue. Para séries não-sazonais, você arent obrigado a alisar sobre qualquer extensão particular. Para alisar você deve experimentar com médias móveis de diferentes extensões. Esses períodos de tempo podem ser relativamente curtos. O objetivo é derrubar as bordas ásperas para ver qual tendência ou padrão pode estar lá. Outros Métodos de Suavização (Seção 2.4) A Seção 2.4 descreve várias alternativas sofisticadas e úteis para o alisamento médio móvel. Os detalhes podem parecer esboçado, mas isso é bom porque não queremos ficar atolados em muitos detalhes para esses métodos. Dos métodos alternativos descritos na Seção 2.4, o lowess (regressão localmente ponderada) pode ser o mais utilizado. Exemplo 2 Continua O gráfico seguinte é uma linha de tendência suavizada para a série de Desemprego dos EUA, encontrada utilizando um lowess mais suave, no qual uma quantidade substancial (2/3) contribuiu para cada estimativa suavizada. Note que isso suavizou a série mais agressivamente do que a média móvel. Os comandos utilizados foram os desempregados (desemprego, início c (1948,1), freq12) parcela (lowess (desempregado, f 2/3), suavização Lowess da tendência de desemprego nos EUA) Suavização Exponencial Única A equação básica de previsão para suavização exponencial única (1-alfa) hat t text Nós prognosticamos que o valor de x no tempo t1 seja uma combinação ponderada do valor observado no tempo t eo valor previsto no instante t. Embora o método seja chamado um método de suavização, seu usado principalmente para previsão de curto prazo. O valor de é chamado de constante de suavização. Por qualquer razão, 0.2 é uma popular escolha padrão de programas. Isso coloca um peso de 0,2 na observação mais recente e um peso de 1,2,8 na previsão mais recente. Com um valor relativamente pequeno de, o alisamento será relativamente mais extenso. Com um valor relativamente grande de, o alisamento é relativamente menos extenso à medida que mais peso será colocado no valor observado. Este é um método simples de previsão de um passo à frente que, à primeira vista, parece não exigir um modelo para os dados. De fato, este método é equivalente ao uso de um modelo ARIMA (0,1,1) sem constante. O procedimento ideal é ajustar um modelo ARIMA (0,1,1) ao conjunto de dados observado e usar os resultados para determinar o valor de. Isso é ótimo no sentido de criar o melhor para os dados já observados. Embora o objetivo seja suavizar e um passo à frente previsões, a equivalência ao modelo ARIMA (0,1,1) traz um bom ponto. Não devemos cegamente aplicar alisamento exponencial porque o processo subjacente pode não ser bem modelado por um ARIMA (0,1,1). Considere um ARIMA (0,1,1) com média 0 para as primeiras diferenças, xt - x t-1: begin hat amp amp xt theta1 wt amp amp xt theta1 (xt - que t) amp amp (1 theta1) xt - theta1hat tendem. Se deixarmos (1 1) e assim - (1) 1, vemos a equivalência à equação (1) acima. Por que o Método é Chamado Suavização Exponencial Isso produz o seguinte: começo chapéu amplificador amp alfa xt (1-alfa) alfa x (1-alfa) chapéu amp amp alfa xt alfa (1-alfa) x (1-alfa) 2hat fim Continuar Desta forma substituindo sucessivamente o valor previsto no lado direito da equação. Isto leva a: hat alfa xt alfa (1-alfa) x alfa (1-alfa) 2 x dots alfa (1-alfa) jx pontos alfa (1-alfa) x1 texto A equação 2 mostra que o valor previsto é uma média ponderada De todos os valores passados da série, com pesos exponencialmente variáveis à medida que nos movemos de volta na série. Optimal Exponential Smoothing in R Basicamente, basta ajustar um ARIMA (0,1,1) aos dados e determinar o coeficiente. Podemos examinar o ajuste do bom, comparando os valores previstos com a série real. A suavização exponencial tende a ser usada mais como uma ferramenta de previsão do que uma verdadeira suavidade, por isso procuramos ver se temos um bom ajuste. Exemplo 3. N 100 observações mensais do logaritmo de um índice de preços do petróleo nos Estados Unidos. A série de dados é: Um ajuste ARIMA (0,1,1) em R deu um coeficiente MA (1) 0,3877. Assim, (1 1) 1,3877 e 1- -0,3877. A equação exponencial de suavização de previsão é 1.3877xt - 0.3877hat t No tempo 100, o valor observado da série é x 100 0,86601. O valor previsto para a série nesse momento é Assim, a previsão para o tempo 101 é o chapéu 1.3877x - 0.3877hat 1.3877 (0.86601) -0.3877 (0.856789) 0.8696 A seguir é o quão bem o mais suave se encaixa a série. É um bom ajuste. Isso é um bom sinal para a previsão, o principal objectivo para este mais suave. Aqui estão os comandos usados para gerar a saída para este exemplo: oilindex scan (oildata. dat) gráfico (oilindex, tipo b, registro principal de índice de óleo série) expsmoothfit arima (oilindex, ordem c (0,1,1)) expsmoothfit Para ver o arima resultados preditos oilindex - expsmoothfitresiduals previu valores gráfico (oilindex, typeb, principal Exponential Suavização de Log of Oil Index) linhas (preditos) 1.3877oilindex100-0.3877predicteds100 previsão de tempo 101 Double suavização exponencial Double exponencial suavização pode ser usado quando theres Tendência (longo ou curto prazo), mas sem sazonalidade. Essencialmente, o método cria uma previsão combinando estimativas exponencialmente suavizadas da tendência (inclinação de uma linha reta) eo nível (basicamente, a intercepção de uma linha reta). Dois pesos diferentes, ou parâmetros de suavização, são usados para atualizar esses dois componentes a cada vez. O nível alisado é mais ou menos equivalente a uma suavização exponencial simples dos valores de dados ea tendência suavizada é mais ou menos equivalente a uma suavização exponencial simples das primeiras diferenças. O procedimento é equivalente à montagem de um modelo ARIMA (0,2,2), sem constante, pode ser realizado com um ajuste ARIMA (0,2,2). (1-B) 2 xt (1teta1B theta2B2) p. NavigationRemoving Daily Seasonality Embora eu geralmente começar a olhar para dados de análise da web em um nível semanal ou mensal, há momentos em que é útil para perfurar para baixo para números diários. Isso pode ser quando se examina o motivo de uma alteração nos dados ou simplesmente para rever o desempenho do dia anterior. Mas surge um problema que pode dificultar a interpretação e extração de informações úteis a partir desses dados diários. A maioria das métricas, quando visualizadas no nível diário, contêm uma forma de sazonalidade diária. Isso é mais claro em métricas como visitas, visualizações de página ou vendas que são números absolutos. Há um padrão re-occuring ao longo da semana com picos e depressões no mesmo dia / s cada semana. Um exemplo deste padrão pode ser visto na Figura 1 abaixo. Enquanto isso faz qualquer gráfico bonito para olhar, torna-se difícil para realmente identificar tendências ou picos nos dados. É um ponto de dados alto, porque houve um pico ou porque era uma segunda-feira É férias escolares, mas o número de visitas naquele Sáb realmente ser tão baixo E, claro, em que dia começamos a ver o tráfego de declínio e quanto De uma mudança é realmente um método comum usado para remover a sazonalidade diária é suavizar a linha usando uma média móvel. Como é um padrão semanal, uma média móvel de sete pontos deve levar a uma linha agradável e suave. Infelizmente, como pode ser visto na Figura 2, isso significa que você obtém uma linha lisa agradável, escondendo a maioria dos picos interessantes e mudanças de etapa e tendências gerais de dados. Você pode ver tendências gerais, mas não é possível identificar dias específicos quando ocorreu uma alteração. Também é difícil identificar claramente uma mudança imediatamente, pois cada dia só contribui um sétimo para cada ponto de dados. O que eu aconselho fazer em vez disso é remover a sazonalidade diária de cada ponto de dados, resultando em uma linha que não é afetada por que dia da semana é. Usando este método significa que é claro para ver se o desempenho de cada dia foi bom ou ruim. Por exemplo, na Figura 3, pode-se ver que o dia relativamente pior para visitas foi na verdade o dia 25 de agosto, mesmo que as visitas para esse dia foram maiores do que em outros dias durante o período relatado. A técnica para remover a sazonalidade diária pode ser aplicada a cada dia, o que significa que você pode identificar e reagir imediatamente a uma mudança no desempenho. A dificuldade então está no cálculo da sazonalidade diária ao longo de uma semana. Isso pode ser feito corretamente usando o SPSS ou uma ferramenta semelhante, mas eu uso uma solução rápida hack no Excel que, embora não 100 precisos, obtém o trabalho feito. As etapas para calcular a sazonalidade diária de uma métrica (usando os exemplos de visitas) são as seguintes, com o exemplo exibido na Figura 4: Extrair dados históricos de visitas diárias. Você precisará de pelo menos 6 semanas, mais se o período incluir um número conhecido de fatores que poderiam afetar o tráfego, e. Férias escolares, feriados, lançamentos de produtos, campanhas de marketing, etc. Reorganize os dados para que cada coluna contenha uma única semana e cada linha contenha apenas dados para um determinado dia da semana. Recriar esta tabela assim, mas substituir as visitas para cada dia com as visitas que para esse dia contribuiu para o total de visitas para essa semana. Adicione duas colunas mais para calcular a média ea mediana para cada linha de dados. Excluir todas as semanas que contêm dias que don8217t refletem o padrão geral. Neste exemplo, as semanas 5 e 6 foram suprimidas. Neste ponto, a média ea mediana devem ser relativamente semelhantes para cada dia da semana. O padrão de sazonalidade diária é conseguido multiplicando a média diária por 7. Esse padrão de sazonalidade diária pode ser usado para remover a sazonalidade diária dessa métrica para qualquer dia. Basta dividir o valor de cada dia pela sazonalidade diária relevante para removê-lo. Eu geralmente faço isso usando um vlookup contra o dia da semana para cada data. Voltando ao motivo da análise da web, você pode usar essa técnica para limpar os dados para que você possa identificar instantaneamente os dias bons e ruins, se estes são dados históricos ou apenas para o dia anterior. Se você estiver usando isso para dados históricos, você pode identificar os dias interessantes para investigar mais (jogar com segmentação). Se você estiver usando em uma base em curso, você pode ver instantaneamente o desempenho foi como para o dia anterior e se necessário, investigar e reagir a uma mudança em conformidade. Atualmente, para ser capaz de fazer esse tipo de análise, você precisa extrair os dados no Excel. Esperemos que um dia, ferramentas de análise da web permitirá que você envie um padrão de sazonalidade diária para uma métrica para que você possa exibir os dados diários com esta sazonalidade removido. E meu sonho é de uma ferramenta que iria incorporar a capacidade de criar automaticamente o padrão para qualquer métrica selecionada (com manual sobre passeios para ajustes, é claro). O outro uso chave que eu encontrei para um padrão de sazonalidade diária é que ele pode ser usado na previsão de níveis diários de tráfego. Se você é capaz de prever o que o tráfego week8217s deve ser, isso pode ser facilmente multiplicado usando o padrão de sazonalidade diária para prever o tráfego em um nível diário. Uma cópia do arquivo do Excel contendo todos os dados, gráficos e fórmulas usados nos exemplos acima pode ser baixado aqui. Esta postagem foi originalmente publicada em AussieWebAnalys t em 26 de novembro de 8217088216 É a sazonalidade de sua métrica A poucos posts de volta, eu examinei uma técnica simples para usar uma média móvel exponencial (EMA) em suas métricas de séries de tempo. Isso tem a vantagem de suavizar as métricas enquanto mantém ao mesmo tempo um 8220memory8221 de todos os valores anteriores da métrica que veio antes. Ele também tem o benefício de ser mais fácil de atualizar como novos valores para suas métricas tornam-se disponíveis. Desta vez, quero mostrar-lhe uma técnica para corrigir outro problema comum de séries temporais: sazonalidade. Sim, suas métricas estão baixas em janeiro, mas é que as vendas habituais pós-feriado queda Ou é o início de uma verdadeira tendência de baixa que você precisa para manter um olho O artigo vai ilustrar uma maneira rápida e simples de des-seasonalize seu dados. Vamos trabalhar através de um exemplo passo a passo: Imagine que estamos trabalhando em uma empresa de software onde o produto de nível empresarial tem um ciclo de vendas bastante longo e nossa métrica é conversões reais durante um trimestre. Se você estivesse olhando para suas métricas de vendas de conversão no gráfico acima, como você está fazendo ultimamente Melhor do que 2010 Tão bom como 2011 Here8217s os dados brutos: Etapa 1: coletar dados de métricas Voltar pelo menos 3 períodos de ciclo completo Para a maioria das pessoas, Isto significa dados trimestrais ou mensais que remontam a três anos. Sim, você pode usar dados semanais ou diários, embora você geralmente queira suavizar esses dados (cha-ching, outro grande uso para a média móvel exponencial). E, ele não deve ser ao longo de um ano inteiro se o 8220seasons8221 seus dados passam por isn8217t medido pelos meses de calendário 8212 assim se you8217re olhando para os dados do dia-da-semana, digamos, para comparar como seus clientes agem na segunda-feira Versus quinta-feira, então uma boa 8-12 semanas de dados seria um mínimo inteligente. Passo 2: Compare como períodos de tempo para gostar de períodos de tempo Por exemplo, olhar para todos os janeiro, ou todas as terças-feiras, e calcular uma média. Aqui, eu uso uma média simples em vez da EMA. Porque a EMA é projetada para ser útil para o período da série de tempo comparado sequencialmente 8212 comparando um fevereiro ao janeiro que veio antes de 8212 e nós não estamos fazendo isso aqui, em vez disso, estamos tratando os dados como dados puros, e nosso objetivo final é Extrair as séries temporais sazonais. Etapa 3: Normalização Compare todas essas médias entre si e divida cada uma das médias em relação à média das médias, gerando um fator ajustado sazonal para esse período, em média, em comparação com o valor normal, referido como 8220normalização. É como comparamos 8220apples a apples8221 através de vários anos e no contexto de todo o efeito sazonal. Etapa 4: Divida cada ponto de dados original por seu fator ajustado sazonalmente Isto fornece um valor efetivo para essa métrica com o componente sazonal removido. Passo 5: Desenhar Conclusões Olhe para este novo des-sazonalizados dados e extrair conclusões, se houver, a partir dele. Agora que nós temos subtraído a sazonalidade das vendas, suas conclusões são diferentes. Olhando para os dados vermelhos e desespeitados, parece claro que a baixa de 2012 é ainda mais baixa do que no final de 2010, e a de 2012 é quase tão alta quanto Em 2011. Isso deve causar alguma consternação na próxima reunião de vendas Claro, há um zilhão de advertências aqui. É seus dados mesmo sazonal em primeiro lugar Olhando para a linha azul, o melhor que podemos dizer é 8220maybe8221 8212 it8217d ser grande para ter mais dados. Talvez uma desagregação mensal dos dados em vez de trimestral. Outra advertência pode ser cíclica 8212 se o ciclo econômico domina seu ciclo de vendas, então ele pode facilmente swamp o componente sazonal 8212, mas se that8217s o caso, por que a menor baixa em 2012 vendas Então, a minha pergunta neste mês: quando você olha para suas métricas , Você conta para a sazonalidade Ou você apenas olhar para ver se os números são 8220up8221 no relatório mais recente Você pode estar faltando um insight chave. Algumas opiniões expressas neste artigo podem ser as de um autor convidado e não necessariamente Marketing Land. Os autores da equipe estão listados aqui. Versão em Português: http://www. polomercantil. com. br Fonte do artigo: http://pt. articlesnatch. com Sobre o autor: John Quarto-vonTivadar é um dos inventores da Persuasão Arquitetura e regularmente combates innumeracy entre os comerciantes em sua popular Math for Marketers série. O best-seller da Johns 2008, Always Be Testing, escrito com o parceiro de negócios Bryan Eisenberg, foi a referência padrão para a otimização de conversões por meio de testes desde seu lançamento e tem sido usado tanto para cursos acadêmicos quanto para treinamento corporativo. Related ArticlesTime Series Analysis: O processo de ajuste sazonal Quais são as duas principais filosofias de ajuste sazonal O que é um filtro Qual é o problema do ponto final Como decidimos qual filtro usar O que é uma função de ganho O que é um deslocamento de fase O que são Henderson Médias móveis Como lidamos com o problema do ponto final O que são médias móveis sazonais Por que as estimativas de tendência são revisadas Quanta informação é necessária para obter estimativas ajustadas sazonalmente aceitáveis AVANÇADO Como as duas filosofias de ajuste sazonal comparam QUAIS SÃO AS DOIS PRINCIPAIS FILOSOFIAS DE AJUSTE ESTACIONAL As duas principais filosofias para ajuste sazonal são o método baseado em modelo e o método baseado em filtros. Métodos baseados em filtros Este método aplica um conjunto de filtros fixos (médias móveis) para decompor a série temporal em uma componente tendencial, sazonal e irregular. A noção subjacente é que os dados econômicos são constituídos por uma série de ciclos, incluindo ciclos econômicos (a tendência), ciclos sazonais (sazonalidade) e ruído (componente irregular). Um filtro essencialmente remove ou reduz a resistência de certos ciclos a partir dos dados de entrada. Para produzir uma série ajustada sazonalmente a partir dos dados coletados mensalmente, os eventos que ocorrem a cada 12, 6, 4, 3, 2,4 e 2 meses precisam ser removidos. Estes correspondem a frequências sazonais de 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ciclos por ano. Os ciclos não sazonais mais longos são considerados parte da tendência e os ciclos não sazonais mais curtos formam o irregular. No entanto, o limite entre a tendência e ciclos irregulares pode variar com o comprimento do filtro utilizado para obter a tendência. Em ABS ajuste sazonal, ciclos que contribuem significativamente para a tendência são tipicamente maiores do que cerca de 8 meses para séries mensais e 4 trimestres para séries trimestrais. A tendência, os componentes sazonais e irregulares não precisam de modelos individuais explícitos. O componente irregular é definido como o que permanece após a tendência e os componentes sazonais foram removidos por filtros. Irregulares não apresentam características de ruído branco. Métodos baseados em filtros são freqüentemente conhecidos como métodos de estilo X11. Estes incluem X11 (desenvolvido pela U. S. Census Bureau), X11ARIMA (desenvolvido pela Estatística Canadá), X12ARIMA (desenvolvido pela U. S. Census Bureau), STL, SABL e SEASABS (o pacote utilizado pelo ABS). As diferenças computacionais entre vários métodos na família X11 são principalmente o resultado de diferentes técnicas usadas nas extremidades da série temporal. Por exemplo, alguns métodos usam filtros assimétricos nas extremidades, enquanto outros métodos extrapolam as séries temporais e aplicam filtros simétricos à série estendida. Métodos baseados em modelos Esta abordagem requer que a tendência, os componentes sazonais e irregulares das séries temporais sejam modeladas separadamente. Assume-se que a componente irregular é 8220 ruído branco 8221 - que é todos os comprimentos de ciclo são igualmente representados. Os irregulares têm média zero e uma variância constante. A componente sazonal tem o seu próprio elemento de ruído. Dois pacotes de software amplamente utilizados que aplicam métodos baseados em modelos são STAMP e SEATS / TRAMO (desenvolvido pelo Banco de Espanha.) As principais diferenças computacionais entre os vários métodos baseados em modelos são geralmente devido a especificações do modelo. Outros métodos exigem que a série temporal original seja modelada em primeiro lugar e os modelos componentes sejam decompostos a partir dele Para uma comparação das duas filosofias em um nível mais avançado, veja Como as duas filosofias de ajuste sazonal se comparam O QUE É UM FILTRO Os filtros podem ser usados Para decompor uma série de tempo em uma tendência, componente sazonal e irregular. Moedas médias são um tipo de filtro que sucessivamente média de um período de tempo de mudança de dados, a fim de produzir uma estimativa suavizada de uma série temporal. Esta série suavizada pode ser considerada como tendo Foi derivado através da execução de uma série de entrada através de um processo que filtra certos ciclos. Em consequência, uma média móvel é muitas vezes referida como um filtro. O processo básico envolve a definição de um conjunto de pesos de comprimento m 1 m 2 1 como: Nota: um conjunto simétrico de pesos tem m 1 m 2 e wjw - j Um valor filtrado no tempo t pode ser calculado por onde Y t descreve o valor Da série temporal no instante t. Por exemplo, considere a seguinte série: Usando um filtro simétrico simples de 3 termos (ie m 1 m 2 1 e todos os pesos são 1/3), o primeiro termo da série suavizada é obtido aplicando os pesos aos três primeiros termos de A série original: O segundo valor suavizado é produzido aplicando os pesos ao segundo, terceiro e quarto termos da série original: O QUE É O PROBLEMA DO PONTO FINAL Reconsiderar a série: Esta série contém 8 termos. No entanto, a série suavizada obtida aplicando filtro simétrico aos dados originais contém apenas 6 termos: Isto é porque há dados insuficientes nas extremidades da série para aplicar um filtro simétrico. O primeiro termo da série suavizada é uma média ponderada de três termos, centrada no segundo termo da série original. Uma média ponderada centrada no primeiro termo da série original não pode ser obtida como dados antes que este ponto não esteja disponível. Da mesma forma, não é possível calcular uma média ponderada centrada no último termo da série, pois não há dados após este ponto. Por esta razão, os filtros simétricos não podem ser usados em nenhuma das extremidades de uma série. Isso é conhecido como o problema do ponto final. Os analistas de séries temporais podem usar filtros assimétricos para produzir estimativas suavizadas nessas regiões. Neste caso, o valor suavizado é calculado 8216 fora do centro8217, sendo a média determinada com mais dados de um lado do ponto do que o outro de acordo com o que está disponível. Alternativamente, as técnicas de modelagem podem ser usadas para extrapolar as séries temporais e então aplicar filtros simétricos para a série estendida. COMO DECIDEMOS O FILTRO A UTILIZAR O analista de séries temporais escolhe um filtro adequado com base nas suas propriedades, tais como ciclos que o filtro remove quando aplicado. As propriedades de um filtro podem ser investigadas usando uma função de ganho. As funções de ganho são usadas para examinar o efeito de um filtro em uma dada freqüência na amplitude de um ciclo para uma série de tempo particular. Para obter mais detalhes sobre a matemática associada às funções de ganho, você pode fazer o download das Notas de Curso das Séries de Tempo, um guia introdutório para análise de séries temporais publicado pela Seção de Análise de Séries Temporais do ABS (consulte a seção 4.4). O diagrama a seguir é a função de ganho para o filtro de 3 termos simétrico que estudamos anteriormente. Figura 1: Função de ganho para o filtro simétrico de 3 períodos O eixo horizontal representa o comprimento de um ciclo de entrada em relação ao período entre os pontos de observação da série temporal original. Assim, um ciclo de entrada de comprimento 2 é completado em 2 períodos, o que representa 2 meses para uma série mensal e 2 trimestres para uma série trimestral. O eixo vertical mostra a amplitude do ciclo de saída em relação a um ciclo de entrada. Este filtro reduz a força de 3 ciclos de período para zero. Ou seja, remove completamente ciclos de aproximadamente este comprimento. Isto significa que para uma série de tempo onde os dados são coletados mensalmente, todos os efeitos sazonais que ocorrem trimestralmente serão eliminados aplicando este filtro à série original. Um desvio de fase é o deslocamento de tempo entre o ciclo filtrado e o ciclo não filtrado. Um deslocamento de fase positivo significa que o ciclo filtrado é deslocado para trás e um desvio de fase negativo é deslocado para a frente no tempo. O deslocamento de fase ocorre quando a temporização dos pontos de viragem é distorcida, por exemplo quando a média móvel é colocada fora do centro pelos filtros assimétricos. Isso é que eles ocorrerão mais cedo ou mais tarde na série filtrada, do que no original. As médias móveis simétricas de comprimento ímpar (usadas pelo ABS), onde o resultado é colocado centralmente, não causam deslocamento de fase do tempo. É importante que os filtros utilizados para derivar a tendência para manter a fase de tempo, e, portanto, o tempo de quaisquer pontos de viragem. As Figuras 2 e 3 mostram os efeitos da aplicação de uma média móvel simétrica 2x12 que é descentrada. As curvas contínuas representam os ciclos iniciais e as curvas quebradas representam os ciclos de saída após a aplicação do filtro de média móvel. Figura 2: Ciclo de 24 meses, Fase -5,5 meses Amplitude 63 Figura 3: Ciclo de 8 meses, Fase -1,5 meses Amplitude 22 QUAIS SÃO MÉDIOS MOVENTES DE HENDERSON As médias móveis de Henderson são filtros que foram derivados por Robert Henderson em 1916 para uso em aplicações atuariais. Eles são filtros de tendência, comumente usados em análise de séries temporais para suavizar estimativas ajustadas sazonalmente, a fim de gerar uma estimativa de tendência. Eles são usados em preferência a médias móveis mais simples, porque eles podem reproduzir polinômios de até grau 3, capturando assim pontos de viragem de tendência. O ABS usa médias móveis Henderson para produzir estimativas de tendência de uma série ajustada sazonalmente. As estimativas de tendência publicadas pelo ABS são tipicamente derivadas usando um filtro de Henderson de 13 termos para séries mensais e um filtro de Henderson de 7 termos para séries trimestrais. Os filtros de Henderson podem ser simétricos ou assimétricos. As médias móveis simétricas podem ser aplicadas em pontos suficientemente afastados das extremidades de uma série temporal. Neste caso, o valor suavizado para um dado ponto na série temporal é calculado a partir de um número igual de valores em ambos os lados do ponto de dados. Para obter os pesos, é alcançado um compromisso entre as duas características geralmente esperadas de uma série de tendências. Estes são que a tendência deve ser capaz de representar uma ampla gama de curvaturas e que ele também deve ser tão suave quanto possível. Para a derivação matemática dos pesos, consulte a seção 5.3 das notas do curso das séries temporais. Que pode ser baixado gratuitamente no site da ABS. Os padrões de ponderação para uma faixa de médias móveis de Henderson simétricas são apresentados na tabela a seguir: Padrão de ponderação simétrica para Henderson Moving Average Em geral, quanto maior o filtro de tendência, mais suave a tendência resultante, como é evidente a partir de uma comparação das funções de ganho acima. Um Henderson de 5 termos reduz ciclos de cerca de 2,4 períodos ou menos em pelo menos 80, enquanto que um termo de 23 Henderson reduz ciclos de cerca de 8 períodos ou menos em pelo menos 90. Na verdade, um termo 23 Henderson filtro remove completamente ciclos de menos de 4 períodos . Henderson médias móveis também moderar os ciclos sazonais em graus variados. No entanto, as funções de ganho nas Figuras 4-8 mostram que os ciclos anuais nas séries mensal e trimestral não são suficientemente amortecidos para justificar a aplicação direta de um filtro de Henderson às estimativas originais. É por isso que eles são aplicados somente a uma série ajustada sazonalmente, onde os efeitos relacionados ao calendário já foram removidos com filtros projetados especificamente. A Figura 9 mostra os efeitos de alisamento de aplicar um filtro de Henderson a uma série: Figura 9: Filtro de Henderson de 23 termos - Valor de Aprovações de Edifícios Não Residenciais COMO FUNCIONAMOS COM O PROBLEMA DE PONTO FINAL O filtro de Henderson simétrico só pode ser aplicado a regiões De dados que estão suficientemente longe dos extremos da série. Por exemplo, o termo padrão Henderson só pode ser aplicado a dados mensais que sejam pelo menos 6 observações a partir do início ou final dos dados. Isso ocorre porque a suavidade do filtro da série, tendo uma média ponderada dos 6 termos de cada lado do ponto de dados, bem como o ponto em si. Se tentarmos aplicá-lo a um ponto que é inferior a 6 observações a partir do final dos dados, então não há dados suficientes disponíveis em um lado do ponto para calcular a média. Para fornecer estimativas de tendência destes pontos de dados, utiliza-se uma média móvel modificada ou assimétrica. O cálculo de filtros Henderson assimétricos pode ser gerado por uma série de métodos diferentes que produzem resultados semelhantes, mas não idênticos. Os quatro métodos principais são o método de Musgrave, o método de minimização do quadrado médio, o método Best Linear Unbiased Estimates (AZUL) eo método de Kenny e Durbin. Shiskin et. Al (1967) derivaram os pesos assimétricos originais para a média móvel de Henderson que são usados dentro dos pacotes X11. Para obter informações sobre a derivação dos pesos assimétricos, consulte a seção 5.3 das notas do curso da série temporal. Considere uma série de tempo onde o último ponto de dados observado ocorre no tempo N. Então um filtro de Henderson de 13 termos simétricos não pode ser aplicado a pontos de dados que são medidos a qualquer momento após e incluindo o tempo N-5. Para todos estes pontos, um conjunto assimétrico de pesos deve ser usado. A tabela a seguir fornece o padrão de ponderação assimétrica para uma média móvel de Henderson de 13 termos. Os filtros de Henderson de 13 termos assimétricos não removem nem amortecem os mesmos ciclos que o filtro de Henderson de 13 termos simétrico. De fato, o padrão de ponderação assimétrica utilizado para estimar a tendência na última observação amplifica a força de 12 ciclos de período. Também os filtros assimétricos produzem algum tempo de mudança de fase. QUAIS SÃO MÉDIOS MOBILIÁRIOS SAZONAIS Quase todos os dados investigados pelo ABS têm características sazonais. Como as médias móveis Henderson usadas para estimar a série de tendências não eliminam a sazonalidade, os dados devem ser ajustados sazonalmente primeiro usando filtros sazonais. Um filtro sazonal tem pesos que são aplicados ao mesmo período ao longo do tempo. Um exemplo do padrão de ponderação para um filtro sazonal seria: (1/3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/3) onde, por exemplo, um peso de um terço é aplicado a três janeiro consecutivos. Dentro de X11, uma série de filtros sazonais estão disponíveis para escolher. Estas são uma média móvel ponderada de três períodos (ma) S 3x1. Ponderada 5-term ma S 3x3. Ponderada 7-termo ma S 3x5. E uma ponderada 11-termo ma S 3x9. A estrutura de ponderação das médias móveis ponderadas da forma, S nxm. É que uma média simples de m termos calculados, e então uma média móvel de n dessas médias é determinada. Isto significa que os termos nm-1 são usados para calcular cada valor suavizado final. Por exemplo, para calcular um 11-termo S 3x9. Um peso de 1/9 é aplicado ao mesmo período em 9 anos consecutivos. Em seguida, é aplicada uma média móvel de 3 termos simples através dos valores médios: Isto dá um padrão de ponderação final de (1/27, 2/27, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 2/27, 1/27). A função de ganho para um filtro sazonal de 11 períodos, S 3x9. Se a: Figura 10: Função de Ganho para 11 Term (S 3x9) Filtro Sazonal A aplicação de um filtro sazonal aos dados irá gerar uma estimativa da componente sazonal da série temporal, uma vez que preserva a força dos harmónicos sazonais e amortece os ciclos de não - Sazonais. Filtros sazonais assimétricos são usados nas extremidades da série. Os pesos assimétricos para cada um dos filtros sazonais usados em X11 podem ser encontrados na seção 5.4 das Notas do Curso da Série de Tempo. Por que as estimativas de tendências são revisadas No final atual de uma série temporal, não é possível usar filtros simétricos para estimar a tendência devido ao problema do ponto final. Em vez disso, filtros assimétricos são usados para produzir estimativas de tendência provisórias. Contudo, à medida que mais dados se tornam disponíveis, é possível recalcular a tendência utilizando filtros simétricos e melhorar as estimativas iniciais. Isso é conhecido como uma revisão de tendência. QUANTIDADE DE DADOS É OBRIGADA A OBTER ESTIMATIVAS ACEITÁVEIS AJUSTADAS ESTACIONALMENTE Se uma série temporal exibir sazonalidade relativamente estável e não for dominada pela componente irregular, então 5 anos de dados podem ser considerados um comprimento aceitável para derivar estimativas ajustadas sazonalmente de. Para uma série que mostra uma sazonalidade particularmente forte e estável, um ajuste bruto pode ser feito com 3 anos de dados. É geralmente preferível ter pelo menos 7 anos de dados para uma série temporal normal, para identificar precisamente padrões sazonais, dia de negociação e efeitos de férias em movimento, tendência e quebras sazonais, bem como outliers. As abordagens baseadas em modelo permitem as propriedades estocásticas (aleatoriedade) da série em análise, no sentido de que elas adaptam os pesos dos filtros com base na natureza da série. A capacidade do modelo 8217 para descrever com precisão o comportamento da série pode ser avaliada, e as inferências estatísticas para as estimativas estão disponíveis com base no pressuposto de que o componente irregular é o ruído branco. Os métodos baseados em filtros são menos dependentes das propriedades estocásticas das séries temporais. É responsabilidade do analista de séries temporais escolher o filtro mais apropriado de uma coleção limitada para uma determinada série. Não é possível realizar verificações rigorosas sobre a adequação do modelo implícito e medidas exatas de precisão e inferência estatística não estão disponíveis. Portanto, um intervalo de confiança não pode ser construído em torno da estimativa. Os diagramas a seguir comparam a presença de cada um dos componentes do modelo nas freqüências sazonais para as duas filosofias de ajuste sazonal. O eixo x é o comprimento do período do ciclo eo eixo y representa a força dos ciclos que compreendem cada componente: Figura 11: Comparação das duas filosofias de ajuste sazonal Os métodos baseados em filtros pressupõem que cada componente existe apenas um certo comprimento de ciclo. Os ciclos mais longos formam a tendência, a componente sazonal está presente nas frequências sazonais ea componente irregular é definida como ciclos de qualquer outro comprimento. Sob uma filosofia baseada em modelo, a tendência, componente sazonal e irregular estão presentes em todos os comprimentos de ciclo. O componente irregular é de força constante, os picos de componente sazonal em frequências sazonais ea componente de tendência é mais forte nos ciclos mais longos. Esta página foi publicada pela primeira vez em 14 de Novembro de 2005, actualizada pela última vez em 25 de Julho de 2008
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